It is interesting to note the difficulties raised towards the end, and Galileo's rebuttals. It is noted that, when Galileo asserts that a frictionless ball on a truly flat plane with no air resistance would roll on forever, Simp points out that going far enough on a really flat plane would mean moving away from the earth, in other words, it would become "uphill". Galileo admits this effect exists, but just claims it is a negligible correction, even for projectiles going four miles, apparently the furthest anything had been shot at the time.

Galileo shows a modern scientific attitude in realizing that his results are not exact, but that that need not be important. The main thing is to be sure how large the errors are, and thus whether or not they matter for the task at hand. This is very different from the attitude of Greek geometers, who were only interested in precise results - yet Galileo's is the only way in which their work can be used to understand the real physical world.

SALV. Attempo arriva ancora il Sig. Simplicio; però, senza interpor quiete, venghiamo al moto: ed ecco il testo del nostro Autore.

DEL MOTO DEI PROIETTI

Le proprietà che si presentano nel moto equabile, come pure nel moto naturalmente accelerato su piani di qualsiasi inclinazione, le abbiamo considerate sopra. Nella trattazione, che ora comincio, cercherò di presentare, e di stabilire sulla base di salde dimostrazioni, alcuni fenomeni notevoli e degni di essere conosciuti, che sono propri di un mobile, mentre si muove con moto composto di un duplice movimento, cioè di un movimento equabile e di uno naturalmente accelerato: tale appunto sembra essere quello che chiamiamo moto dei proietti; la generazione del quale così stabilisco.

Immagino di avere un mobile lanciato su un piano orizzontale, rimosso ogni impedimento: già sappiamo, per quello che abbiamo detto più diffusamente altrove, che il suo moto si svolgerà equabile e perpetuo sul medesimo piano, qualora questo si estenda all'infinito; se invece intendiamo [questo piano] limitato e posto in alto, il mobile, che immagino dotato di gravità, giunto all'estremo del piano e continuando la sua corsa, aggiungerà al precedente movimento equabile e indelebile quella propensione all'ingiù dovuta alla propria gravità: ne nasce un moto composto di un moto orizzontale equabile e di un moto deorsum naturalmente accelerato, il quale [moto composto] chiamo proiezione. Ne dimostreremo parecchie proprietà: la prima delle quali sia [la seguente].

FOURTH DAY

SALVIATI. Once more, Simplicio is here on time; so let us without delay take up the question of motion. The text of our Author follows:

THE MOTION OF PROJECTILES

In the preceding pages we have discussed the properties of uniform motion and of motion naturally accelerated along planes of all inclinations. I now propose to set forth those properties which belong to a body whose motion is compounded of two other motions, namely, one uniform and one naturally accelerated; these properties, well worth knowing, I propose to demonstrate in a rigid manner. This is the kind of motion seen in a moving projectile; its origin I conceive to be as follows:

Imagine any particle projected along a horizontal plane without friction; then we know, from what has been more fully explained in the preceding pages, that this particle will move along this same plane with a motion which is uniform and perpetual, provided the plane has no limits. But if the plane is limited and elevated, then the moving particle, which we imagine to be a heavy one, will on passing over the edge of the plane acquire, in addition to its previous uniform and perpetual motion, a downward propensity due to its own weight; so that the resulting motion which I call projection is compounded of one which is uniform and horizontal and of another which is vertical and naturally accelerated. We now proceed to demonstrate some of its properties, the first of which is as follows:

Un proietto, mentre si muove di moto composto di un moto orizzontale equabile e di un moto deorsum naturalmente accelerato, descrive nel suo movimento una linea semiparabolica.

SAGR. È forza, Sig. Salviati, in grazia di me, ed anco, credo io, del Sig. Simplicio, far qui un poco di pausa; avvenga che io non mi son tanto inoltrato nella geometria, che io abbia fatto studio in Apollonio, se non in quanto so ch'ei tratta di queste parabole e dell'altre sezzioni coniche, senza la cognizione delle quali e delle lor passioni non credo che intendersi possano le dimostrazioni di altre proposizioni a quelle aderenti. E perché già nella bella prima proposizione ci vien proposto dall'Autore, doversi dimostrare, la linea descritta dal proietto esser parabolica, mi vo imaginando che, non dovendosi trattar d'altro che di tali linee, sia assolutamente necessario avere una perfetta intelligenza, se non di tutte le passioni di tali figure dimostrate da Apollonio, almeno di quelle che per la presente scienza son necessarie.

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SALV. V. S. si umilia molto, volendosi far nuovo di quelle cognizioni le quali non è gran tempo che ammesse come ben sapute, allora, dico, che nel trattato delle resistenze avemmo bisogno della notizia di certa proposizione d'Apollonio, sopra la quale ella non mosse difficoltà.

SAGR. Può essere o che io la sapessi per ventura o che io la supponessi per una volta tanto che ella mi bisognò in tutto quel trattato: ma qui, dove mi imagino d'avere a sentir tutte le dimostrazioni circa tali linee, non bisogna, come si dice, bever grosso, buttando via il tempo e la fatica.

SIMP. E poi, rispetto a me, quando bene, come credo, il Sig. Sagredo fusse ben corredato di tutti i suoi bisogni, a me cominciano già a giugner come nuovi gli stessi primi termini; perché, se bene i nostri filosofi hanno trattata questa materia del moto de' proietti, non mi sovvien che si siano ristretti a definire quali siano le linee da quelli descritte, salvo che assai generalmente sian sempre linee curve, eccetto che nelle proiezzioni perpendicolari sursum. Però, quando quel poco di geometria che io ho appreso da Euclide, da quel tempo in qua che noi avemmo altri discorsi, non sia bastante per rendermi capace delle cognizioni necessarie per l'intelligenza delle seguenti dimostrazioni, mi converrà contentarmi delle sole proposizioni credute, ma non sapute.

SALV. Anzi voglio io che le sappiate mercé dell'istesso Autor dell'opera, il quale, quando già mi concesse di veder questa sua fatica, perché io ancora in quella volta non aveva in pronto i libri di Apollonio, s'ingegnò di dimostrarmi due passioni principalissime di essa parabola, senza veruna altra precognizione, delle quali sole siamo bisognosi nel presente trattato: le quali son ben anco provate da Apollonio, ma dopo molte altre, che lungo sarebbe a vederle; ed io voglio che abbreviamo assai il viaggio, cavando la prima immediatamente dalla pura e semplice generazione di essa parabola, e da questa poi pure immediatamente la dimostrazione della seconda. Venendo dunque alla prima:

Intendasi il cono retto, la cui base sia il cerchio ibkc, e vertice il punto l, nel quale, segato con un piano parallelo al lato lk, nasca la sezzione bac, detta parabola; la cui base bc seghi ad angoli retti il diametro ik del cerchio ibkc, e sia l'asse della parabola ad parallelo al lato lk; e preso qualsivoglia punto f nella linea bfa, tirisi la retta fe parallela alla bd: dico che il quadrato della bd al quadrato della fe ha la medesima proporzione che l'asse da alla parte ae. Per il punto e intendasi passare un piano parallelo al cerchio ibkc, il quale farà nel cono una sezzione circolare, il cui diametro sia la linea geh: e perché sopra il diametro ik del cerchio ibk la bd è perpendicolare, sarà il quadrato della bd eguale al rettangolo fatto dalle parti id, dk; e parimente nel cerchio superiore, che s'intende passare per i punti g, f, h, il quadrato della linea fe è eguale al rettangolo delle parti geh; adunque il quadrato della bd al quadrato della fe ha la medesima proporzione che il rettangolo idk al rettangolo geh. E perché la linea ed è parallela alla hk, sarà la eh eguale alla dk, che pur son parallele: e però il rettangolo idk al rettangolo geh arà la medesima proporzione che la id alla ge, cioè che la da alla ae: adunque il rettangolo idk al rettangolo geh, cioè il quadrato bd al quadrato fe, ha la medesima proporzione che l'asse da alla parte ae: che bisognava dimostrare.

L'altra proposizione, pur necessaria al presente trattato, così faremo manifesta. [v. figura 71] Segniamo la parabola, della quale sia prolungato fuori l'asse ca in d, e preso qualsivoglia punto b, per esso intendasi prodotta la linea bc, parallela alla base di essa parabola; e posta la da eguale alla parte dell'asse ca, dico che la retta tirata per i punti d, b non cade dentro alla parabola, ma fuori, sì che solamente la tocca nell'istesso punto b. Imperò che, se è possibile, caschi dentro, segandola sopra, o, prolungata, segandola sotto, ed in essa sia preso qualsivoglia punto g, per il quale passi la retta fge. E perché il quadrato fe è maggiore del quadrato ge, maggior proporzione avrà esso quadrato fe al quadrato bc che 'l quadrato ge al medesimo bc; e perché, per la precedente, il quadrato fe al quadrato bc sta come la ea alla ac, adunque maggior proporzione ha la ea alla ac che 'l quadrato ge al quadrato bc, cioè che 'l quadrato ed al quadrato dc (essendo che nel triangolo dge come la ge alla parallela bc, così sta ed a dc): ma la linea ea alla ac, cioè alla ad, ha la medesima proporzione che 4 rettangoli ead a 4 quadrati di ad, cioè al quadrato cd (che è eguale a 4 quadrati di ad): adunque 4 rettangoli ead al quadrato cd aranno maggior proporzione che il quadrato ed al quadrato dc: adunque 4 rettangoli ead saranno maggiori del quadrato ed: il che è falso, perché son minori; imperò che le parti ea, ad della linea ed non sono eguali. Adunque la linea db tocca la parabola in b, e non la sega: il che si doveva dimostrare.

THEOREM 1, PROPOSITION I

A projectile which is carried by a uniform horizontal motion compounded with a naturally accelerated vertical motion describes a path which is a semi-parabola.

SAGR. Here, Salviati, it will be necessary to stop a little while for my sake and, I believe, also for the benefit of Simplicio; for it so happens that I have not gone very far in my study of Apollonius and am merely aware of the fact that he treats of the parabola and other conic sections, without an understanding of which I hardly think one will be able to follow the proof of other propositions depending upon them. Since even in this first beautiful theorem the author finds it necessary to prove that the path of a projectile is a parabola, and since, as I imagine, we shall have to deal with only this kind of curves, it will be absolutely necessary to have a thorough acquaintance, if not with all the properties which Apollonius has demonstrated for these figures, at least with those which are needed for the present treatment.

(At this point, Galileo demonstrates his dexterity in traditional Greek geometry, to the consternation of Simplicio, and proves that if a cone is cut by a plane parallel to the side of the cone, the outline of the cut section is a parabola. You can look up the details in the book, if you're interested. We come in below at the very end of the proof, just to give you the flavor of the exchange. )

SALV. Veramente tutti i matematici non vulgari suppongono che il lettore abbia prontissimi al meno gli Elementi di Euclide: e qui, per supplire al vostro bisogno, basterà ricordarvi una proposizione del secondo, nella quale si dimostra, che quando una linea è segata in parti eguali ed in diseguali, il rettangolo delle parti diseguali è minore del rettangolo delle parti eguali (cioè del quadrato della metà) quanto è il quadrato della linea compresa tra i segamenti; onde è manifesto che il quadrato di tutta, il quale contiene 4 quadrati della metà, è maggiore di 4 rettangoli delle parti diseguali. Ora, di queste due proposizioni dimostrate, prese da gli elementi conici, conviene che tenghiamo memoria per l'intelligenza delle cose seguenti nel presente trattato: ché di queste sole, e non di più, si serve l'Autore. Ora possiamo ripigliare il testo, per vedere in qual maniera ei vien dimostrando la sua prima proposizione, dove egli intende di provarci la linea descritta dal mobile grave, che mentre ci descende con moto composto dell'equabile orizontale e del naturale descendente, sia una semiparabola.

SALV. Indeed, all real mathematicians assume on the part of the reader perfect familiarity with at least the elements of Euclid; … .

We can now resume the text and see how he demonstrates his first proposition in which he shows that a body falling with a motion compounded of a uniform horizontal and a naturally accelerated one describes a semi-parabola.

Let us imagine an elevated horizontal line or plane ab along which a body moves with uniform speed from a to b. Suppose this plane to end abruptly at b; then at this point the body will, on account of its weight, acquire also a natural motion downwards along the perpendicular bn.

Draw the line be along the plane ba to represent the flow, or measure, of time; divide this line into a number of segments, bc, cd, de, representing equal intervals of time; from the points b, c, d, e, let fall lines which are parallel to the perpendicular bn. On the first of these lay off any distance ci, on the second a distance four times as long, df; on the third, one nine times as long, eh; and so on, in proportion to the squares of cb, db, eb, or, we may say, in the squared ratio of these same lines. Accordingly we see that while the body moves from b to c with uniform speed, it also falls perpendicularly through the distance ci, and at the end of the time-interval bc finds itself at the point i. In like manner at the end of the time-interval bd, which is the double of bc, the vertical fall will be four times the first distance ci; for it has been shown in a previous discussion that the distance traversed by a freely falling body varies as the square of the time; in like manner the space eh traversed during the time be will be nine times ci; thus it is evident that the distances eh, df, cl will be to one another as the squares of the lines be, bd, bc. Now from the points i, f, h draw the straight lines io, fg, hl parallel to be; these lines hl, fg, io are equal to eb, db and cb, respectively; so also are the lines bo, bg, bl respectively equal to ci, df, and eh. The square of hl is to that of fg as the line lb is to bg; and the square of fg is to that of io as gb is to bo; therefore the points i, f, h, lie on one and the same parabola. In like manner it may be shown that, if we take equal time-intervals of any size whatever, and if we imagine the particle to be carried by a similar compound motion, the positions of this particle, at the ends of these time-intervals, will lie on one and the same parabola. Q. E. D.

(Note that in the above, Galileo is using the horizontal intervals bc, cd, etc., to denote time as well as distance. This is ok, since the horizontal motion is at steady speed, but is rather confusing!)

SIMP. Io a queste difficoltà ne aggiungo dell'altre: una delle quali è, che noi supponghiamo che il piano orizontale, il quale non sia né acclive né declive, sia una linea retta, quasi che una simil linea sia in tutte le sue parti egualmente distante dal centro, il che non è vero; perché, partendosi dal suo mezo, va verso le estremità sempre più e più allontanandosi dal centro, e però ascendendo sempre; il che si tira in conseguenza, essere impossibile che il moto si perpetui, anzi che né pur per qualche spazio si mantenga equabile, ma ben sempre vadia languendo. In oltre, è, per mio credere, impossibile lo schivar l'impedimento del mezo, sì che non levi l'equabilità del moto trasversale e la regola dell'accelerazione ne i gravi cadenti. Dalle quali tutte difficoltà si rende molto improbabile che le cose dimostrate con tali supposizioni incostanti possano poi nelle praticate esperienze verificarsi.

SALV. Tutte le promosse difficoltà e instanze son tanto ben fondate, che stimo essere impossibile il rimuoverle, ed io, per me, le ammetto tutte, come anco credo che il nostro Autore esso ancora le ammetterebbe; e concedo che le conclusioni così in astratto dimostrate si alterino in concreto, e si falsifichino a segno tale, che né il moto trasversale sia equabile, né l'accelerazione del naturale sia con la proporzion supposta, né la linea del proietto sia parabolica, etc.: ma ben, all'incontro, domando che elle non contendano al nostro Autor medesimo quello che altri grandissimi uomini hanno supposto, ancor che falso. E la sola autorità d'Archimede può quietare ogn'uno, il quale, nelle sue Mecaniche e nella prima Quadratura della parabola, piglia come principio vero, l'ago della bilancia o stadera essere una linea retta in ogni suo punto equalmente distante dal centro commune de i gravi, e le corde alle quali sono appesi i gravi esser tra di loro parallele: la qual licenza viene da alcuni scusata, perché nelle nostre pratiche gli strumenti nostri e le distanze le quali vengono da noi adoperate, son così piccole in comparazione della nostra gran lontananza dal centro del globo terrestre, che ben possiamo prendere un minuto di un grado del cerchio massimo come se fusse una linea retta, e due perpendicoli che da i suoi estremi pendessero, come se fussero paralleli.

Che quando nelle opere praticali si avesse a tener conto di simili minuzie, bisognerebbe cominciare a riprendere gli architetti, li quali col perpendicolo suppongono d'alzar le altissime torri tra linee equidistanti. Aggiungo qui, che noi possiamo dire che Archimede e gli altri supposero nelle loro contemplazioni, esser costituiti per infinita lontananza remoti dal centro, nel qual caso i loro assunti non erano falsi, e che però concludevano con assoluta dimostrazione. Quando poi noi vogliamo praticar in distanza terminata le conclusioni dimostrate col suppor lontananza immensa, doviamo diffalcar dal vero dimostrato quello che importa il non esser la nostra lontananza dal centro realmente infinita, ma ben tale che domandar si può immensa in comparazione della piccolezza de gli artificii praticati da noi: il maggior de i quali sarà il tiro de i proietti, e di questi quello solamente dell'artiglierie, il quale, per grande che sia, non passerà 4 miglia di quelle delle quali noi siamo lontani dal centro quasi altrettante migliara; ed andando questi a terminar nella superficie del globo terrestre, ben potranno solo insensibilmente alterar quella figura parabolica, la quale si concede che sommamente si trasformerebbe nell'andare a terminar nel centro.

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SIMP. To these difficulties, I may add others. One of these is that we suppose the horizontal plane, which slopes neither up nor down, to be represented by a straight line as if each point on this line were equally distant from the center, which is not the case; for as one starts from the middle [of the line] and goes toward either end, he departs farther and farther from the center [of the earth] and is therefore constantly going uphill. Whence it follows that the motion cannot remain uniform through any distance whatever, but must continually diminish. Besides, I do not see how it is possible to avoid the resistance of the medium which must destroy the uniformity of the horizontal motion and change the law of acceleration of falling bodies. These various difficulties render it highly improbable that a result derived from such unreliable hypotheses should hold true in practice.

SALV. All these difficulties and objections which you urge are so well founded that it is impossible to remove them; and, as for me, I am ready to admit them all, which indeed I think our author would also do. I grant that these conclusions proved in the abstract will be different when applied in the concrete and will be fallacious to this extent, that neither will the horizontal motion be uniform nor the natural acceleration be in the ratio assumed, nor the path of the projectile a parabola, etc. But, on the other hand, I ask you not to begrudge our Author that which other eminent men have assumed even if not strictly true. The authority of Archimedes alone will satisfy everybody. In his Mechanics and in his first quadrature of the parabola he takes for granted that the beam of a balance or steelyard is a straight line, every point of which is equidistant from the common center of all heavy bodies, and that the cords by which heavy bodies are suspended are parallel to each other.

Some consider this assumption permissible because, in practice, our instruments and the distances involved are so small in comparison with the enormous distance from the center of the earth that we may consider a minute of arc on a great circle as a straight line, and may regard the perpendiculars let fall from its two extremities as parallel. For if in actual practice one had to consider such small quantities, it would be necessary first of all to criticise the architects who presume, by use of a plumbline, to erect high towers with parallel sides. I may add that, in all their discussions, Archimedes and the others considered themselves as located at an infinite distance from the center of the earth, in which case their assumptions were not false, and therefore their conclusions were absolutely correct. When we wish to apply our proven conclusions to distances which, though finite, are very large, it is necessary for us to infer, on the basis of demonstrated truth, what correction is to be made for the fact that our distance from the center of the earth is not really infinite, but merely very great in comparison with the small dimensions of our apparatus. The largest of these will be the range of our projectiles--and even here we need consider only the artillery--which, however great, will never exceed four of those miles of which as many thousand separate us from the center of the earth; and since these paths terminate upon the surface of the earth only very slight changes can take place in their parabolic figure which, it is conceded, would be greatly altered if they terminated at the center of the earth.

Quanto al primo, il mostrarci l'esperienza che due palle di grandezza eguali, ma di peso l'una 10 o 12 volte più grave dell'altra, quali sarebbero, per esempio, una di piombo e l'altra di rovere, scendendo dall'altezza di 150 o 200 braccia, con pochissimo differente velocità arrivano in terra, ci rende sicuri che l'impedimento e ritardamento dell'aria in amendue è poco: che se la palla di piombo, partendosi nell'istesso momento da alto con l'altra di legno, poco fusse ritardata, e questa molto, per assai notabile spazio devrebbe il piombo, nell'arrivare in terra, lasciarsi a dietro il legno, mentre è 10 volte più grave; il che tutta via non accade, anzi la sua anticipazione non sarà né anco la centesima parte di tutta l'altezza; e tra una palla di piombo ed una di pietra, che di quella pesasse la terza parte o la metà, appena sarebbe osservabile la differenza del tempo delle lor giunte in terra. Ora, perché l'impeto che acquista una palla di piombo nel cadere da un'altezza di 200 braccia (il quale è tanto, che continuandolo in moto equabile scorrerebbe braccia 400 in tanto tempo quanto fu quello della sua scesa) è assai considerabile rispetto alle velocità che noi con archi o altre machine conferiamo a i nostri proietti (trattone gl'impeti dependenti dal fuoco), possiamo senza errore notabile concludere e reputar come assolutamente vere le proposizioni che si dimostreranno senza il riguardo dell'alterazion del mezo

Regarding the first of these, consider the case of two balls having the same dimensions, but one weighing ten or twelve times as much as the other; one, say, of lead, the other of oak, both allowed to fall from an elevation of 150 or 200 cubits.

Experiment shows that they will reach the earth with slight difference in speed, showing us that in both cases the retardation caused by the air is small; for if both balls start at the same moment and at the same elevation, and if the leaden one be slightly retarded and the wooden one greatly retarded, then the former ought to reach the earth a considerable distance in advance of the latter, since it is ten times as heavy. But this does not happen; indeed, the gain in distance of one over the other does not amount to the hundredth part of the entire fall. And in the case of a ball of stone weighing only a third or half as much as one of lead, the difference in their times of reaching the earth will be scarcely noticeable. Now since the speed acquired by a leaden ball in falling from a height of 200 cubits is so great that if the motion remained uniform the ball would, in an interval of time equal to that of the fall, traverse 400 cubits, and since this speed is so considerable in comparison with those which, by use of bows or other machines except fire arms, we are able to give to our projectiles, it follows that we may, without sensible error, regard as absolutely true those propositions which we are about to prove without considering the resistance of the medium.