Lecture on Naturally Accelerated Motion

This extract from Galileo's Two New Sciences is from Third Day. After a brief excerpt from the section on Uniform Motion (that is, constant speed in a straight line) we give a more extended extract from the discussion of Naturally Accelerated Motion, that is, uniform acceleration of falling bodies.

GIORNATA TERZA

DEL MOTO LOCALE

Diamo avvio a una nuovissima scienza intorno a un soggetto antichissimo. Nulla v'è, forse, in natura, di più antico del moto, e su di esso ci sono non pochi volumi, né di piccola mole, scritti dai filosofi; tuttavia tra le sue proprietà ne trova molte che, pur degne di essere conosciute, non sono mai state finora osservate, nonché dimostrate. Se ne rilevano alcune più immediate, come quella, ad esempio, che il moto naturale dei gravi discendenti accelera continuamente; però, secondo quale proporzione tale accelerazione avvenga, non è stato sin qui mostrato: nessuno, che io sappia, infatti, ha dimostrato che un mobile discendente a partire dalla quiete percorre, in tempi eguali, spazi che ritengono tra di loro la medesima proporzione che hanno i numeri impari successivi ab unitate. È stato osservato che i corpi lanciati, ovverossia i proietti, descrivono una linea curva di un qualche tipo; però, che essa sia una parabola, nessuno l'ha mostrato. Che sia così, lo dimostrerò insieme ad altre non poche cose, né meno degne di essere conosciute, e, ciò che ritengo ancor più importante, si apriranno le porte a una vastissima e importantissima scienza, della quale queste nostre ricerche costituiranno gli elementi; altri ingegni più acuti del mio ne penetreranno poi più ascosi recessi.

Dividiamo in tre parti la trattazione: nella prima parte consideriamo ciò che concerne il moto equabile o uniforme; nella seconda trattiamo del moto naturalmente accelerato; nella terza, del moto violento, ossia dei proietti.

CHANGE OF POSITION

My purpose is to set forth a very new science dealing with a very ancient subject. There is, in nature, perhaps nothing older than motion, concerning which the books written by philosophers are neither few nor small; nevertheless I have discovered by experiment some properties of it which are worth knowing and which have not hitherto been either observed or demonstrated. Some superficial observations have been made, as, for instance, that the free motion [naturalem motum] of a heavy falling body is continuously accelerated; but to just what extent this acceleration occurs has not yet been announced; for so far as I know, no one has yet pointed out that the distances traversed, during equal intervals of time, by a body falling from rest, stand to one another in the same ratio as the odd numbers beginning with unity.

It has been observed that missiles and projectiles describe a curved path of some sort; however no one has pointed out the fact that this path is a parabola. But this and other facts, not few in number or less worth knowing, I have succeeded in proving; and what I consider more important, there have been opened up to this vast and most excellent science, of which my work is merely the beginning, ways and means by which other minds more acute than mine will explore its remote corners.

This discussion is divided into three parts; the first part deals with motion which is steady or uniform; the second treats of motion as we find it accelerated in nature; the third deals with the so-called violent motions and with projectiles.

DEL MOTO EQUABILE

Circa il moto equabile o uniforme, ci occorre una sola definizione, che formulo così:

DEFINIZIONE

Moto eguale o uniforme intendo quello in cui gli spazi percorsi da un mobile in tempi eguali, comunque presi, risultano tra di loro eguali.

AVVERTENZA

Ci è parso opportuno aggiungere alla vecchia definizione (che semplicemente parla di moto equabile, allorché in tempi eguali vengono percorsi spazi eguali) l'espressione comunque presi, cioè per tutti i tempi che siano eguali: infatti, può accadere che in determinati tempi eguali un mobile percorra spazi eguali, mentre spazi, percorsi in frazioni di tempo minori, sebbene eguali, non siano eguali. Dalla precedente definizione dipendono quattro assiomi, cioè:

ASSIOMA 1

In uno stesso moto equabile, lo spazio percorso in un tempo più lungo è maggiore dello spazio percorso in un tempo più breve.

ASSIOMA 2

In uno stesso moto equabile, il tempo in cui è percorso uno spazio maggiore è più lungo del tempo impiegato a percorrere uno spazio minore.

ASSIOMA 3

Lo spazio, percorso in un dato tempo a velocità maggiore, è maggiore di quello percorso, nello stesso tempo, a velocità minore.

ASSIOMA 4

La velocità, con cui in un dato tempo viene percorso uno spazio maggiore, è maggiore di quella con cui, nello stesso tempo, viene percorso uno spazio minore.

TEOREMA1. PROPOSIZIONE 1

Se un mobile, dotato di moto equabile, percorre due spazi con una stessa velocità, i tempi dei moti staranno tra di loro come gli spazi percorsi.

TEOREMA 2. PROPOSIZIONE 2

Se un mobile percorre due spazi in tempi eguali, quegli spazi staranno tra loro come le velocità. E se gli spazi stanno tra loro come le velocità, i tempi saranno eguali.

TEOREMA 3. PROPOSIZIONE 3

Se il medesimo spazio viene percorso con velocità diseguali, i tempi dei moti rispondono contrariamente [sono inversamente proporzionali] alle velocità.

TEOREMA 4. PROPOSIZIONE 4

Se due mobili si muovono di moto equabile, ma con diseguale velocità, gli spazi percorsi da essi in tempi diseguali avranno tra di loro una proporzione composta della proporzione tra le velocità e della proporzione tra i tempi.

TEOREMA 5. PROPOSIZIONE 5

Se due mobili si muovono di moto equabile, ma le loro velocità sono diseguali e diseguali gli spazi percorsi, la proporzione tra i tempi risulterà composta della proporzione tra gli spazi e della proporzione tra le velocità permutatamente prese [proporzione inversa delle velocità].

TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6

Se due mobili si muovono di moto equabile, la proporzione tra le loro velocità risulterà composta della proporzione tra gli spazi percorsi e della proporzione tra i tempi permutatamente presi [proporzione inversa dei tempi].

SALV. Questo che abbiamo veduto, è quanto il nostro Autore ha scritto del moto equabile. Passeremo dunque a più sottile e nuova contemplazione intorno al moto naturalmente accelerato, quale è quello che generalmente è esercitato da i mobili gravi descendenti: ed ecco il titolo e l'introduzione.

UNIFORM MOTION

In dealing with steady or uniform motion, we need a single definition which I give as follows:

DEFINITION

By steady or uniform motion, I mean one in which the distances traversed by the moving particle during any equal intervals of time, are themselves equal.

CAUTION

We must add to the old definition (which defined steady motion simply as one in which equal distances are traversed in equal times) the word "any," meaning by this, all equal intervals of time; for it may happen that the moving body will traverse equal distances during some equal intervals of time and yet the distances traversed during some small portion of these time-intervals may not be equal, even though the time intervals be equal.

(There follows at this point a few pages of axioms, theorems, etc., in the Euclidean spirit, establishing, for example, that in equal times bodies moving at different speeds cover distances in proportion to their speeds, etc.)

DEL MOTO NATURALMENTE ACCELERATO

Le proprietà del moto equabile sono state considerate nel libro precedente: ora dobbiamo trattare del moto accelerato.

E in primo luogo conviene investigare e spiegare la definizione che corrisponde esattamente al moto accelerato di cui si serve la natura. Infatti, sebbene sia lecito immaginare arbitrariamente qualche forma di moto e contemplare le proprietà che ne conseguono (così, infatti, coloro che si immaginarono linee spirali o concoidi, originate da certi movimenti, ne hanno lodevolmente dimostrate le proprietà argomentando ex suppositione, anche se di tali movimenti non usi la natura), tuttavia, dal momento che la natura si serve di una certa forma di accelerazione nei gravi discendenti, abbiamo stabilito di studiarne le proprietà, posto che la definizione che daremo del nostro moto accelerato abbia a corrispondere con l'essenza del moto naturalmente accelerato. Questa coincidenza crediamo di averla raggiunta finalmente, dopo lunghe riflessioni; soprattutto per il fatto che le proprietà, da noi successivamente dimostrate [dalla nostra definizione], sembrano esattamente corrispondere e coincidere con ciò che gli esperimenti naturali presentano ai sensi. Infine a studiare il moto naturalmente accelerato siamo stati condotti quasi per mano dall'osservazione della consuetudine e della regola seguite dalla natura medesima in tutte le altre sue opere, nella cui attuazione suole far uso dei mezzi più immediati, più semplici, più facili. Ritengo infatti che non vi sia nessuno, il quale creda che si possa praticare il nuoto o il volo in una maniera più semplice e più facile di quella usata, per istinto naturale, dai pesci e dagli uccelli.

Quando, dunque, osservo che una pietra, che discende dall'alto a partire dalla quiete, acquista via via nuovi incrementi di velocità, perché non dovrei credere che tali aumenti avvengano secondo la più semplice e più ovvia proporzione? Ora, se consideriamo attentamente la cosa, non troveremo nessun aumento o incremento più semplice di quello che aumenta sempre nel medesimo modo. Il che facilmente intenderemo considerando la stretta connessione tra tempo e moto: come infatti la equabilità e uniformità del moto si definisce e si concepisce sulla base della eguaglianza dei tempi e degli spazi (infatti chiamiamo equabile il moto, allorché in tempi eguali vengono percorsi spazi eguali), così, mediante una medesima suddivisione uniforme del tempo, possiamo concepire che gli incrementi di velocità avvengano con [altrettanta] semplicità; [lo possiamo] in quanto stabiliamo in astratto che risulti uniformemente e, nel medesimo modo, continuamente accelerato, quel moto che in tempi eguali, comunque presi, acquista eguali aumenti di velocità. Cosicché, considerando un numero qualsiasi di frazioni di tempo eguali a partire dal primo istante in cui il mobile abbandona la quiete e comincia a scendere, il grado di velocità acquistato nella prima e seconda frazione di tempo prese insieme, è doppio rispetto al grado di velocità acquistato dal mobile nella prima frazione; e il grado che si ottiene in tre frazioni di tempo, è triplo; quello acquistato in quattro, quadruplo del medesimo grado del primo tempo: sì che (per maggiore chiarezza), se il mobile continuasse il suo moto secondo il grado o momento di velocità acquistato nella prima frazione di tempo e lo proseguisse uniformemente con tale grado, questo moto sarebbe due volte più lento di quello che [il mobile] otterrebbe secondo il grado di velocità acquistato in due frazioni di tempo. E così ci sembra di non discordare affatto dalla retta ragione se ammettiamo che l'intensità della velocità cresca secondo l'estensione del tempo [la velocità sia proporzionale al tempo].

Possiamo quindi ammettere la seguente definizione del moto di cui tratteremo: Moto equabilmente, ossia uniformemente accelerato, dico quello che, a partire dalla quiete, in tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.

SAGR. Io, sì come fuor di ragione mi opporrei a questa o ad altra definizione che da qualsivoglia autore fusse assegnata, essendo tutte arbitrarie, così ben posso senza offesa dubitare se tal definizione, concepita ed ammessa in astratto, si adatti, convenga e si verifichi in quella sorte di moto accelerato che i gravi naturalmente descendenti vanno esercitando. E perché pare che l'Autore ci prometta che tale, quale egli ha definito, sia il moto naturale de i gravi, volentieri mi sentirei rimuover certi scrupoli che mi perturbano la mente, acciò poi con maggior attenzione potessi applicarmi alle proposizioni, e lor dimostrazioni, che si attendono.

SALV. È bene che V. S. ed il Sig. Simplicio vadano proponendo le difficoltà; le quali mi vo immaginando che siano per essere quelle stesse che a me ancora sovvennero, quando primieramente veddi questo trattato, e che o dall'Autor medesimo, ragionandone seco, mi furon sopite, o tal una ancora da me stesso, co 'l pensarvi, rimosse.

SAGR. Mentre io mi vo figurando, un mobile grave descendente partirsi dalla quiete, cioè dalla privazione di ogni velocità, ed entrare nel moto, ed in quello andarsi velocitando secondo la proporzione che cresce 'l tempo dal primo instante del moto, ad avere, v. g., in otto battute di polso acquistato otto gradi di velocità, della quale nella quarta battuta ne aveva guadagnati quattro, nella seconda due, nella prima uno, essendo il tempo subdivisibile in infinito, ne séguita che, diminuendosi sempre con tal ragione l'antecedente velocità, grado alcuno non sia di velocità così piccolo, o vogliamo dir di tardità così grande, nel quale non si sia trovato costituito l'istesso mobile dopo la partita dall'infinita tardità, cioè dalla quiete: tal che, se quel grado di velocità ch'egli ebbe alle quattro battute di tempo, era tale che, mantenendola equabile, arebbe corso due miglia in un'ora, e co 'l grado di velocità ch'ebbe nella seconda battuta arebbe fatto un miglio per ora, convien dire che ne gl'instanti del tempo più e più vicini al primo della sua mossa dalla quiete si trovasse così tardo, che non arebbe (seguitando di muoversi con tal tardità) passato un miglio in un'ora, né in un giorno, né in un anno, né in mille, né passato anco un sol palmo in tempo maggiore; accidente al quale pare che assai mal agevolmente s'accomodi l'immaginazione, mentre che il senso ci mostra, un grave cadente venir subito con gran velocità.

SALV. Questa è una delle difficoltà che a me ancora su 'l principio dette che pensare, ma non molto dopo la rimossi; ed il rimuoverla fu effetto della medesima esperienza che di presente a voi la suscita. Voi dite, parervi che l'esperienza mostri, che a pena partitosi il grave dalla quiete, entri in una molto notabile velocità; ed io dico che questa medesima esperienza ci chiarisce, i primi impeti del cadente, benché gravissimo, esser lentissimi e tardissimi. Posate un grave sopra una materia cedente, lasciandovelo sin che prema quanto egli può con la sua semplice gravità: è manifesto che, alzandolo un braccio o due, lasciandolo poi cadere sopra la medesima materia, farà con la percossa nuova pressione, e maggiore che la fatta prima co 'l solo peso; e l'effetto sarà cagionato dal mobile cadente congiunto con la velocità guadagnata nella caduta, il quale effetto sarà più e più grande, secondo che da maggior altezza verrà la percossa, cioè secondo che la velocità del percuziente sarà maggiore. Quanta dunque sia la velocità d'un grave cadente, lo potremo noi senza errore conietturare dalla qualità e quantità della percossa. Ma ditemi, Signori: quel mazzo che lasciato cadere sopra un palo dall'altezza di quattro braccia lo ficca in terra, v. g., quattro dita, venendo dall'altezza di duo braccia lo caccerà assai manco, e meno dall'altezza di uno, e manco da un palmo; e finalmente, sollevandolo un dito, che farà di più che se, senza percossa, vi fusse posto sopra? certo pochissimo: ed operazione del tutto impercettibile sarebbe, se si elevasse quanto è grosso un foglio. E perché l'effetto della percossa si regola dalla velocità del medesimo percuziente, chi vorrà dubitare che lentissimo sia 'l moto e più che minima la velocità, dove l'operazione sua sia impercettibile? Veggano ora quanta sia la forza della verità, mentre l'istessa esperienza che pareva nel primo aspetto mostrare una cosa, meglio considerata ci assicura del contrario.

Ma senza ridursi a tale esperienza (che senza dubbio è concludentissima), mi pare che non sia difficile co 'l semplice discorso penetrare una tal verità. Noi abbiamo un sasso grave, sostenuto nell'aria in quiete; si libera dal sostegno e si pone in libertà, e, come più grave dell'aria, vien descendendo al basso, e non con moto equabile, ma lento nel principio, e continuamente dopo accelerato: ed essendo che la velocità è augumentabile e menomabile in infinito, qual ragione mi persuaderà che tal mobile, partendosi da una tardità infinita (ché tal è la quiete), entri immediatamente in dieci gradi di velocità più che in una di quattro, o in questa prima che in una di due, di uno, di un mezo, di un centesimo? ed in somma in tutte le minori in infinito? Sentite, in grazia. Io non credo che voi fuste renitenti a concedermi che l'acquisto de i gradi di velocità del sasso cadente dallo stato di quiete possa farsi co 'l medesimo ordine che la diminuzione e perdita de i medesimi gradi, mentre da virtù impellente fusse ricacciato in su alla medesima altezza; ma quando ciò sia, non veggo che si possa dubitare che nel diminuirsi la velocità del sasso ascendente, consumandola tutta, possa pervenire allo stato di quiete prima che passar per tutti i gradi di tardità.

SIMP. Ma se i gradi di tardità maggiore e maggiore sono infiniti, già mai non si consumeranno tutti; onde tal grave ascendente non si condurrà mai alla quiete, ma infinitamente si moverà, ritardandosi sempre: cosa che non si vede accadere.

SALV. Accaderebbe cotesto, Sig. Simplicio, quando il mobile andasse per qualche tempo trattenendosi in ciaschedun grado; ma egli vi passa solamente, senza dimorarvi oltre a un instante; e perché in ogni tempo quanto, ancor che piccolissimo, sono infiniti instanti, però son bastanti a rispondere a gl'infiniti gradi di velocità diminuita. Che poi tal grave ascendente non persista per verun tempo quanto in alcun medesimo grado di velocità, si fa manifesto così: perché se, assegnato qualche tempo quanto, nel primo instante di tal tempo ed anco nell'ultimo il mobile si trovasse aver il medesimo grado di velocità, potrebbe da questo secondo grado esser parimente sospinto in su per altrettanto spazio, sì come dal primo fu portato al secondo, e per l'istessa ragione passerebbe dal secondo al terzo, e finalmente continuerebbe il suo moto uniforme in infinito.

SAGR. Da questo discorso mi par che si potrebbe cavare una assai congrua ragione della quistione agitata tra i filosofi, qual sia la causa dell'accelerazione del moto naturale de i gravi. Imperò che, mentre io considero, nel grave cacciato in su andarsi continuamente diminuendo quella virtù impressagli dal proiciente; la quale, sin che fu superiore all'altra contraria della gravità, lo sospinse in alto; giunte che siano questa e quella all'equilibrio, resta il mobile di più salire e passa per lo stato della quiete, nel quale l'impeto impresso non è altramente annichilito, ma solo consumatosi quell'eccesso che pur dianzi aveva sopra la gravità del mobile, per lo quale, prevalendogli, lo spingeva in su; continuandosi poi la diminuzione di questo impeto straniero, ed in consequenza cominciando il vantaggio ad esser dalla parte della gravità, comincia altresì la scesa, ma lenta per il contrasto della virtù impressa, buona parte della quale rimane ancora nel mobile; ma perché ella pur va continuamente diminuendosi, venendo sempre con maggior proporzione superata dalla gravità, quindi nasce la continua accelerazione del moto.

SIMP. Il pensiero è arguto, ma più sottile che saldo: imperò che, quando pur sia concludente, non sodisfà se non a quei moti naturali a i quali sia preceduto un moto violento, nel quale resti ancora vivace parte della virtù esterna; ma dove non sia tal residuo, ma si parta il mobile da una antiquata quiete, cessa la forza di tutto il discorso.

SAGR. Credo che voi siate in errore, e che questa distinzione di casi, che fate, sia superflua, o, per dir meglio, nulla. Però ditemi, se nel proietto può esser tal volta impressa dal proiciente molta e tal ora poca virtù, sì che possa essere scagliato in alto cento braccia, ed anco venti, o quattro, o uno?

SIMP. Non è dubbio che sì.

SAGR. E non meno potrà cotal virtù impressa di così poco superar la resistenza della gravità, che non l'alzi più d'un dito; e finalmente può la virtù del proiciente esser solamente tanta, che pareggi per l'appunto la resistenza della gravità, sì che il mobile sia non cacciato in alto, ma solamente sostenuto. Quando dunque voi reggete in mano una pietra, che altro gli fate voi che l'imprimerli tanta virtù impellente all'in su, quanta è la facoltà della sua gravità, traente in giù? e questa vostra virtù non continuate voi di conservargliela impressa per tutto il tempo che voi la sostenete in mano? si diminuisce ella forse per la lunga dimora che voi la reggete? e questo sostentamento che vieta la scesa al sasso, che importa che sia fatto più dalla vostra mano, che da una tavola, o da una corda dalla quale ei sia sospeso? Certo niente. Concludete pertanto, Sig. Simplicio, che il precedere alla caduta del sasso una quiete lunga o breve o momentanea, non fa differenza alcuna, sì che il sasso non parta sempre affetto da tanta virtù contraria alla sua gravità, quanta appunto bastava a tenerlo in quiete.

SALV. Non mi par tempo opportuno d'entrare al presente nell'investigazione della causa dell'accelerazione del moto naturale, intorno alla quale da varii filosofi varie sentenzie sono state prodotte, riducendola alcuni all'avvicinamento al centro, altri al restar successivamente manco parti del mezo da fendersi, altri a certa estrusione del mezo ambiente, il quale, nel ricongiugnersi a tergo del mobile, lo va premendo e continuatamente scacciando; le quali fantasie, con altre appresso, converrebbe andare esaminando e con poco guadagno risolvendo. Per ora basta al nostro Autore che noi intendiamo che egli ci vuole investigare e dimostrare alcune passioni di un moto accelerato (qualunque si sia la causa della sua accelerazione) talmente, che i momenti della sua velocità vadano accrescendosi, dopo la sua partita dalla quiete, con quella semplicissima proporzione con la quale cresce la continuazion del tempo, che è quanto dire che in tempi eguali si facciano eguali additamenti di velocità; e se s'incontrerà che gli accidenti che poi saranno dimostrati si verifichino nel moto de i gravi naturalmente descendenti ed accelerati, potremo reputare che l'assunta definizione comprenda cotal moto de i gravi, e che vero sia che l'accelerazione loro vadia crescendo secondo che cresce il tempo e la durazione del moto.

NATURALLY ACCELERATED MOTION

The properties belonging to uniform motion have been discussed in the preceding section; but accelerated motion remains to be considered.

And first of all it seems desirable to find and explain a definition best fitting natural phenomena. For anyone may invent an arbitrary type of motion and discuss its properties; thus, for instance, some have imagined helices and conchoids as described by certain motions which are not met with in nature, and have very commendably established the properties which these curves possess in virtue of their definitions - but we have decided to consider the phenomena of bodies falling with an acceleration such as actually occurs in nature and to make this definition of accelerated motion exhibit the essential features of observed accelerated motions. And this, at last, after repeated efforts we trust we have succeeded in doing. In this belief we are confirmed mainly by the consideration that experimental results are seen to agree with and exactly correspond with those properties which have been, one after another, demonstrated by us. Finally, in the investigation of naturally accelerated motion we were led, by hand as it were, in following the habit and custom of nature herself, in all her various other processes, to employ only those means which are most common, simple and easy.

For I think no one believes that swimming or flying can be accomplished in a manner simpler or easier than that instinctively employed by fishes and birds.

When, therefore, I observe a stone initially at rest falling from an elevated position and continually acquiring new increments of speed, why should I not believe that such increases take place in a manner which is exceedingly simple and rather obvious to everybody? If now we examine the matter carefully we find no addition or increment more simple than that which repeats itself always in the same manner. This we readily understand when we consider the intimate relationship between time and motion; for just as uniformity of motion is defined by and conceived through equal times and equal spaces (thus we call a motion uniform when equal distances are traversed during equal time-intervals), so also we may, in a similar manner, through equal time-intervals, conceive additions of speed as taking place without complication; thus we may picture to our mind a motion as uniformly and continuously accelerated when, during any equal intervals of time whatever, equal increments of speed are given to it. Thus if any equal intervals of time whatever have elapsed, counting from the time at which the moving body left its position of rest and began to descend, the amount of speed acquired during the first two time-intervals will be double that acquired during the first time-interval alone; so the amount added during three of these time-intervals will be treble; and that in four, quadruple that of the first time interval. To put the matter more clearly, if a body were to continue its motion with the same speed which it had acquired during the first time-interval and were to retain this same uniform speed, then its motion would be twice as slow as that which it would have if its velocity had been acquired during two time intervals.

And thus, it seems, we shall not be far wrong if we put the increment of speed as proportional to the increment of time; hence the definition of motion which we are about to discuss may be stated as follows: A motion is said to be uniformly accelerated, when starting from rest, it acquires, during equal time-intervals, equal increments of speed.

SAGR. Although I can offer no rational objection to this or indeed to any other definition, devised by any author whomsoever, since all definitions are arbitrary, I may nevertheless without offense be allowed to doubt whether such a definition as the above, established in an abstract manner, corresponds to and describes that kind of accelerated motion which we meet in nature in the case of freely falling bodies. And since the Author apparently maintains that the motion described in his definition is that of freely falling bodies, I would like to clear my mind of certain difficulties in order that I may later apply myself more earnestly to the propositions and their demonstrations.

SALV. It is well that you and Simplicio raise these difficulties. They are, I imagine, the same which occurred to me when I first saw this treatise, and which were removed either by discussion with the Author himself, or by turning the matter over in my own mind.

SAGR. When I think of a heavy body falling from rest, that is, starting with zero speed and gaining speed in proportion to the time from the beginning of the motion; such a motion as would, for instance, in eight beats of the pulse acquire eight degrees of speed; having at the end of the fourth beat acquired four degrees; at the end of the second, two; at the end of the first, one: and since time is divisible without limit, it follows from all these considerations that if the earlier speed of a body is less than its present speed in a constant ratio, then there is no degree of speed however small (or, one may say, no degree of slowness however great) with which we may not find this body travelling after starting from infinite slowness, i. e., from rest. So that if that speed which it had at the end of the fourth beat was such that, if kept uniform, the body would traverse two miles in an hour, and if keeping the speed which it had at the end of the second beat, it would traverse one mile an hour, we must infer that, as the instant of starting is more and more nearly approached, the body moves so slowly that, if it kept on moving at this rate, it would not traverse a mile in an hour, or in a day, or in a year or in a thousand years; indeed, it would not traverse a span in an even greater time; a phenomenon which baffles the imagination, while our senses show us that a heavy falling body suddenly acquires great speed.

SALV. This is one of the difficulties which I also at the beginning, experienced, but which I shortly afterwards removed; and the removal was effected by the very experiment which creates the difficulty for you. You say the experiment appears to show that immediately after a heavy body starts from rest it acquires a very considerable speed: and I say that the same experiment makes clear the fact that the initial motions of a falling body, no matter how heavy, are very slow and gentle. Place a heavy body upon a yielding material, and leave it there without any pressure except that owing to its own weight; it is clear that if one lifts this body a cubit or two and allows it to fall upon the same material, it will, with this impulse, exert a new and greater pressure than that caused by its mere weight; and this effect is brought about by the [weight of the] falling body together with the velocity acquired during the fall, an effect which will be greater and greater according to the height of the fall, that is according as the velocity of the falling body becomes greater. From the quality and intensity of the blow we are thus enabled to accurately estimate the speed of a falling body. But tell me, gentlemen, is it not true that if a block be allowed to fall upon a stake from a height of four cubits and drives it into the earth, say, four finger-breadths, that coming from a height of two cubits it will drive the stake a much less distance, and from the height of one cubit a still less distance; and finally if the block be lifted only one finger-breadth how much more will it accomplish than if merely laid on top of the stake without percussion? Certainly very little. If it be lifted only the thickness of a leaf, the effect will be altogether imperceptible. And since the effect of the blow depends upon the velocity of this striking body, can any one doubt the motion is very slow and the speed more than small whenever the effect [of the blow] is imperceptible? See now the power of truth; the same experiment which at first glance seemed to show one thing, when more carefully examined, assures us of the contrary.

But without depending upon the above experiment, which is doubtless very conclusive, it seems to me that it ought not to be difficult to establish such a fact by reasoning alone. Imagine a heavy stone held in the air at rest; the support is removed and the stone set free; then since it is heavier than the air it begins to fall, and not with uniform motion but slowly at the beginning and with a continuously accelerated motion. Now since velocity can be increased and diminished without limit, what reason is there to believe that such a moving body starting with infinite slowness, that is, from rest, immediately acquires a speed of ten degrees rather than one of four, or of two, or of one, or of a half, or of a hundredth; or, indeed, of any of the infinite number of small values [of speed]? Pray listen. I hardly think you will refuse to grant that the gain of speed of the stone falling from rest follows the same sequence as the diminution and loss of this same speed when, by some impelling force, the stone is thrown to its former elevation: but even if you do not grant this, I do not see how you can doubt that the ascending stone, diminishing in speed, must before coming to rest pass through every possible degree of slowness.

SIMP. But if the number of degrees of greater and greater slowness is limitless, they will never be all exhausted, therefore such an ascending heavy body will never reach rest, but will continue to move without limit always at a slower rate; but this is not the observed fact.

SALV. This would happen, Simplicio, if the moving body were to maintain its speed for any length of time at each degree of velocity; but it merely passes each point without delaying more than an instant: and since each time-interval however small may be divided into an infinite number of instants, these will always be sufficient [in number] to correspond to the infinite degrees of diminished velocity.

That such a heavy rising body does not remain for any length of time at any given degree of velocity is evident from the following: because if, some time-interval having been assigned, the body moves with the same speed in the last as in the first instant of that time-interval, it could from this second degree of elevation be in like manner raised through an equal height, just as it was transferred from the first elevation to the second, and by the same reasoning would pass from the second to the third and would finally continue in uniform motion forever.

SAGR. From these considerations it appears to me that we may obtain a proper solution of the problem discussed by philosophers, namely, what causes the acceleration in the natural motion of heavy bodies? Since, as it seems to me, the force [virtu] impressed by the agent projecting the body upwards diminishes continuously, this force, so long as it was greater than the contrary force of gravitation, impelled the body upwards; when the two are in equilibrium the body ceases to rise and passes through the state of rest in which the impressed impetus [impeto] is not destroyed, but only its excess over the weight of the body has been consumed-the excess which caused the body to rise. Then as the diminution of the outside impetus [impeto] continues, and gravitation gains the upper hand, the fall begins, but slowly at first on account of the opposing impetus [virtu impressa], a large portion of which still remains in the body; but as this continues to diminish it also continues to be more and more overcome by gravity, hence the continuous acceleration of motion.

SIMP. The idea is clever, yet more subtle than sound; for even if the argument were conclusive, it would explain only the case in which a natural motion is preceded by a violent motion, in which there still remains active a portion of the external force [virtu esterna]; but where there is no such remaining portion and the body starts from an antecedent state of rest, the cogency of the whole argument fails.

SAGR. I believe that you are mistaken and that this distinction between cases which you make is superfluous or rather nonexistent. But, tell me, cannot a projectile receive from the projector either a large or a small force [virtu] such as will throw it to a height of a hundred cubits, and even twenty or four or one?

SIMP. Undoubtedly, yes.

SAGR. So therefore this impressed force [virtu impressa] may exceed the resistance of gravity so slightly as to raise it only a finger-breadth; and finally the force [virtu] of the projector may be just large enough to exactly balance the resistance of gravity so that the body is not lifted at all but merely sustained. When one holds a stone in his hand does he do anything but give it a force impelling [virtu impellente] it upwards equal to the power [facolta] of gravity drawing it downwards? And do you not continuously impress this force [virtu] upon the stone as long as you hold it in the hand? Does it perhaps diminish with the time during which one holds the stone?

And what does it matter whether this support which prevents the stone from falling is furnished by one's hand or by a table or by a rope from which it hangs? Certainly nothing at all. You must conclude, therefore, Simplicio, that it makes no difference whatever whether the fall of the stone is preceded by a period of rest which is long, short, or instantaneous provided only the fall does not take place so long as the stone is acted upon by a force [virtu] opposed to its weight and sufficient to hold it at rest.

SALV. The present does not seem to be the proper time to investigate the cause of the acceleration of natural motion concerning which various opinions have been expressed by various philosophers, some explaining it by attraction to the center, others to repulsion between the very small parts of the body, while still others attribute it to a certain stress in the surrounding medium which closes in behind the falling body and drives it from one of its positions to another. Now, all these fantasies, and others too, ought to be examined; but it is not really worth while. At present it is the purpose of our Author merely to investigate and to demonstrate some of the properties of accelerated motion (whatever the cause of this acceleration may be)-meaning thereby a motion, such that the momentum of its velocity [i momenti delta sua velocita] goes on increasing after departure from rest, in simple proportionality to the time, which is the same as saying that in equal time-intervals the bodv receives equal increments of velocity; and if we find the properties [of accelerated motion] which will be demonstrated later are realized in freely falling and accelerated bodies, we may conclude that the assumed definition includes such a motion of falling bodies and that their speed [accelerazione] goes on increasing as the time and the duration of the motion.

  Lecture on Naturally Accelerated Motion