Le verità della Matematica sono analitiche?.

Secondo Hume, la matematica opera un puro confronto tra idee, che non dipende da questioni di fatto.

Quello che facciamo, ad esempio, quando enunciamo il teorema di Pitagora, non è che prendere due idee (l'idea della somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo e l'idea di un quadrato costruito sull'ipotenusa) e metterle in relazione tra loro. E benché le singole idee abbiano, in ultima analisi, un'origine empirica e i sensi contribuiscano, quindi, alla loro formazione, la conoscenza matematica prescinde totalmente da questa origine empirica, interessandosi esclusivamente alla ricerca di relazioni di tipo quantitativo o numerico tra le idee.

Poiché è in questo modo che il sapere matematico può raggiungere la certezza e la invariabilità, questa certezza e questa invariabilità non riguardano le cose e non spiegano la realtà. La scienza se ne serve solo come strumento, utile per descrivere gli aspetti quantitativi dei fenomeni, nella sua ricerca delle leggi dell'esperienza.

Diversamente, Kant è convinto che le verità matematiche (dell'aritmetica e della geometria) abbiano la natura del sintetico a priori e che, perciò, siano estensive della conoscenza (in quanto, per esempio, non basta ragionare sul concetto di "somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo" per poter dire che essa "è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa": devo costruirmi sensibilmente la figura e quindi passare per qualcosa che non è puramente concettuale) e, insieme, invariabili e certe (in quanto non conta la particolare, più o meno imprecisa, figura che posso tracciare sulla lavagna o sul foglio di carta, bensì le universali relazioni spaziali che intercorrono tra i vari enti che la costituiscono).

Questo vuol dire, in altri termini, che per Kant la nozione di analiticità (che esclude tutta la matematica e gran parte della logica) è molto più "ristretta" della humiana nozione di "connessione di idee" (che include tutta la matematica).

In realtà, se ci soffermiamo sugli esempi di "giudizi analitici" che Kant ci fornisce nella Critica della ragion pura e nei Prolegomeni e li confrontiamo con gli esempi di "verità di ragione" di Leibniz, ci troviamo a dover riconoscere che l'analiticità di cui parla il filosofo di Könisberg è più "ristretta" rispetto alla stessa tradizione razionalista.

Nel distinguere tra analitico e sintetico, Kant sembra piuttosto avere in mente la distinzione tra proposizioni irrilevanti (trifling propositions) e proposizioni significative, che J. Locke traccia nel libro IV del Saggio sull'intelletto umano (cap. VIII; le proposizioni irrilevanti, di cui parla Locke, sono proposizioni puramente verbali, ad esempio: le proposizioni identiche come "una legge è una legge", "l'ingiusto è ingiusto" ecc. o le proposizioni in cui "una parte dell'idea complessa rappresentata da qualunque termine viene predicata di quel termine stesso" come in "l'oro è un metallo"; non sono puramente verbali, invece, proposizioni come. "l'angolo esterno di tutti i triangoli è maggiore di entrambi gli angoli interni opposti", 8).

A G. Frege (fondatore di quell'indirizzo di filosofia della matematica che si chiama logicismo) si deve la tesi secondo cui tutte le verità della matematica sono analitiche.

Ma la nozione di analiticità cui Frege si richiama è sostanzialmente diversa da quella di Kant.

E' sbagliato, egli dice, concentrarsi sul contenuto di un singolo giudizio: non è il contenuto di un giudizio ciò che permette di decidere se esso è analitico o sintetico.

Il problema è, piuttosto, quello della giustificazione in base alla quale quel giudizio viene espresso. Una proposizione è analitica solo se 1) è possibile trovare una dimostrazione di essa e se 2) risalendo fino alle verità prime, da cui quella proposizione deriva, si scoprono solo leggi logiche e definizioni; si scopre che la proposizione data dipende solo da leggi logiche e da definizioni.

Una proposizione analitica è tutt'altro che una proposizione banale o irrilevante; anzi, è una proposizione che ponendosi ad un livello molto alto di astrazione estende la nostra conoscenza ed è, perciò, feconda.

Nel Tractatus, Wittgenstein (che non condivideva la tesi logicista secondo cui la Matematica sarebbe riducibile alla Logica) attribuiva sia alle proposizioni matematiche che alle proposizioni logiche una stessa "caratteristica speciale": nell'uno e nell'altro caso è sufficiente ispezionare i segni che le esprimono, per coglierne la validità, senza ricorrere ai fatti o ad altra fonte esterna di prova.

Matematica e Logica, infatti, poggiano entrambe sulla "sintassi logica", ossia sul sistema di regole che governa i simboli e che, da solo, basta a determinare tutte le formule valide.

Così, ad esempio, per capire un'espressione logica come p Ú ~ p (es. "Piove o non piove"), dobbiamo capire che p è una proposizione e che Ú e ~ hanno le regole d'uso specificate nelle loro rispettive tavole di verità. Una volta intese queste definizioni dei segni di disgiunzione e di negazione, non vi è alcuna possibilità di falsificare l'espressione complessa p Ú ~ p, la cui tavola di verità si riduce ad una serie di V.

L'espressione p Ú ~ p è una tautologia (per tautologie più complicate, Wittgenstein fornisce un procedimento che consente di riconoscerle).

La nozione di tautologia spiega, nel Tractatus, la nozione di verità logica ("tutte le verità logiche sono tautologie" - 6.1).

Per spiegare le verità matematiche, Wittgenstein ricorre alla nozione di equazione: le proposizioni matematiche sono equazioni (e in questo si distinguono dalle proposizioni logiche); esse mostrano che le espressioni che si trovano a sinistra e a destra del segno di uguaglianza, hanno lo stesso significato.

Nonostante questa differenza, tra le proposizioni matematiche e le proposizioni logiche vi è, come abbiamo visto, un forte parallelismo.