Frege

(Fondamenti dell'aritmetica, 1884,6)

Una dimostrazione parrebbe potersi fondare unicamente su definizioni (oltreché, nel caso della dimostrazione dei Nuovi saggi, sopra riferita, su un assioma, il quale però anch'esso potrebbe venir trasformato in una definizione). "Però, a un esame più accurato, si scopre nel ragionamento di Leibniz una lacuna che ci era finora sfuggita per aver tralasciato le parentesi. A rigore si sarebbe dovuto scrivere:

2+2 = 2+(1+1)
(2+1)+1 = 3+1 = 4,

ove è palese che manca la proposizione:

2+(1+1) = (2+1)+1,

che costituisce un caso particolare della formula:

a+(b+c) = (a+b)+c.

Una volta presupposta questa legge, si vede facilmente che ogni formula riguardante l'aggiunta di un'unità risulta dimostrabile; e in tal caso ogni numero può venir definito a partire dai precedenti." [...]"La serie infinita dei numeri viene così ricondotta all'unità e all'addizione di unità, e ognuna delle infinite formule numeriche risulta in tal modo dimostrabile a partire da alcune proposizioni generali"