Il metodo di esaustione ( da "esaurire"; il termine fu introdotto nel XVII sec. ) fu la via seguita per rispondere al problema.
Il metodo di esaustione è un procedimento che consente di confrontare figure geometriche, in particolare figure geometriche curvilinee con figure geometriche rettilinee, e condurre dimostrazioni intorno ad esse.
Essenzialmente, il metodo consiste in:
(A) un'argomentazione logica che rappresenta la struttura della dimostrazione e
(B) un nucleo centrale che consente all'argomentazione logica di procedere e concludere.
Il nucleo centrale (B) consta dei seguenti passi:
L'argomentazione logica (A) procede in genere nel modo seguente:
- E' data una figura geometrica "difficile", come per esempio un cerchio ( che era una delle due fonti di "incommensurabili", dai Greci conosciute ).
- Vengono scelte opportune figure geometriche, in genere poligoni regolari, considerate "facili", confrontabili mediante le usuali tecniche della sovrapposizione, della scomposizione e dell'inclusione.
- I poligoni vengono inscritti nella figura data e circoscritti ad essa.
- Si aumenta il numero dei lati dei poligoni e si fa in modo che i loro perimetri si approssimino (infinito potenziale) alla lunghezza della circonferenza ( oppure che le loro aree si approssimino a quella del cerchio, se la figura data è il cerchio ). [Questo passaggio deve essere giustificato. La giustificazione poggia sulla " proprietà di esaustione "]