Logica simbolica e
tavole di verità - tre programmi in Java
per imparare ed esercitarsi -
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<<Poichè il linguaggio
è fuorviante e in aggiunta prolisso e inesatto
quando è applicato alla logica ( a cui non è
mai stato destinato), il simbolismo logico è
assolutamente necessario per qualunque
trattazione esatta e completa del nostro
argomento >> (Bertrand Russell) |
Il linguaggio simbolico
Accade spesso che per assolvere un certo compito occorra
guardare le cose in modo selettivo, concentrandosi su
alcuni aspetti e trascurandone altri, che pure si sa
essere, per tanti versi, importanti e significativi.
Dal punto di vista della logica, relativamente agli
obiettivi che questa si pone, il linguaggio naturale,
ossia il linguaggio che tutti noi (e ovviamente anche il
logico) parliamo ogni giorno e impieghiamo nelle
molteplici situazioni della vita quotidiana, presenta
caratteri che lo rendono poco affidabile. La natura vaga
e non certo univoca delle parole che usiamo e
l'ambiguità che frequentemente si rivela nel modo in cui
costruiamo i nostri ragionamenti, per gli idiomi
fuorvianti che possono contenere o per il loro stile
metaforico, se, visti sotto una certa prospettiva,
rappresentano una ricchezza, sotto un'altra prospettiva
possono, invece, rappresentare un problema. Cosa sarebbe
la nostra effettiva comunicazione, se le frasi che
pronunciamo cessassero, tutte insieme e tutto d'un
tratto, di esprimere qualsiasi significato emozionale
? Riusciremmo ancora a provare interesse per i nostri
discorsi ? Un linguaggio meticolosamente <pulito>
delle sue vafghezze e imprecisioni, sarebbe ancora
abbastanza duttile e in grado di rispondere alle
multiformi richieste di una realtà in continua
trasformazione ? Ma, supponiamo, ora, che di fronte ad
argomentazioni formulate a a ragionamenti prodotti, ci si
interroghi sulla loro validità o invalidità.
Con una notazione precisa, ossia con un rigoroso
vocabolario tecnico, possiamo più facilmente trovare una
risposta. Per gli scopi della logica è conveniente
mettere a punto un linguaggio simbolico artificiale,
nel quale le premesse, le conclusioni e i passaggi. che
dalle une vanno alle altre, possano venir tradotti in una
forma che renda trasparente e controllabile la loro
costruzione.
I simboli speciali.
Il valore dei simboli logici
speciali consiste anche nell'aiuto che essi offrono
nell'uso effettivo e nella manipolazione di asserti e
argomenti. Nella loro Introduzione alla
logica, (il Mulino, nuova ed.: 1997; prima
ed.: 1961) I. Copi e C. Cohen
scrivono: " la situazione è paragonabile a quella
che ha portato alla sostituzione dei numeri romani con la
notazione araba. sappiamo tutti che i numeri arabi sono
più chiari e più facilmente comprensibili dei vecchi
numeri romani dei quali hanno preso il posto. Ma la vera
superiorità dei numeri arabi si rivela soltanto nella
computazione. Qualsiasi studente può facilmente
moltiplicare 113 per 9. ma moltiplicare CXII per IX è un
compito più difficile e la difficoltà cresce
all'aumentare dei numeri considerati. In maniera simile,
la deduzione delle inferenze e la valutazione degli
argomenti sono notevolmente semplificate dall'adozione di
una notazione logica specifica. Per citare Alfred North
Whitehead, che ha dato uno dei maggiori contributi al
progresso della logica simbolica,
... con l'aiuto
del simbolismo, possiamo fare nel
ragionamento quasi meccanicamente, a occhio,
passaggi che altrimenti chiamerebbero in
gioco le più elevate facoltà del cervello.
Da questo punto di vista, per
quanto sembri paradossale, la logica non serve a
sviluppare le potenzialità del nostro pensiero, ma a
sviluppare tecniche che ci consentano di raggiungere
certi obiettivi senza dover pensare tanto".
Il primo passo verso la
costruzione di un linguaggio simbolico artificiale,
consiste nel ditinguere tra asserto semplice
(un asserto semplice è quello che non contiene
nessun altro asserto come suo componente) e asserto
composto (un asserto composto è quello
che contiene un altro enunciato come suo componente)
- ad esempio, "Carlo è ordinato" è un asserto
semplice, mentre "Carlo è ordinato e Carlo è
affettuoso" è un asserto composto. "Carlo e
Francesco sono intelligenti" è un asserto composto
e, infatti, si può scomporre in: "Carlo è
intelligente" e "Francesco è
intelligente", ma "Carlo e Francesco sono
amici" non è un asserto composto:
una scomposizione simile alla precedente non si può,
qui, applicare. La distinzione tra asserto semplice e
asserto composto non è, perciò, così banale come, a
prima vista, potrebbe apparire: già a questo livello
elementare si produce una prima importante presa di
distanza dal linguaggio comune. I passi successivi
confermano questa tendenza. Ad esempio, un modo molto
semplice di formare asserti composti consiste nel legare
gli asserti semplici, suoi componenti, con la
congiunzione <e>. La parola <e> è una parola
breve e comoda, ma nel linguaggio ordinario non ha un
solo uso: il significato di "Paolo e Ginevra si
sposarono e ebbero un bambino" è diverso da quello
di "Paolo e Ginevra ebbero un bambino e si
sposarono". Qui la <e> del nostro parlare
comune ha uno speciale senso temporale. Per avere una
notazione logica dobbiamo, al contrario, fissare un unico
uso e garantirci che questo rimanga costante.Sceglieremo,
pertanto, quello più generale (che nel caso della
<e> sarà quello di legare insieme gli asserti)
e considereremo tutti gli altri come casi speciali di
questo, e per evitare confusioni, invece di scrivere
<e> useremo un simbolo artificiale, per esempio un
puntino: " . "
In modo simile si procede per gli altri connettivi:
<o> (di cui si fissa il significato corrispondente
alla parola latina vel,
distinguendolo da quello espresso dalla parola latina aut),
<se ... allora ...> (implicazione
materiale) e < ... se e solo se ... >
(bicondizionale).
In un qualsiasi manuale di matematica si troverà
facilmente un capitolo dedicato a questi argomenti. A chi
volesse saperne di più consigliamo la lettura del libro
di Copi e Cohen, più sopra citato.
I tre programmi che qui presentiamo presuppongono che
quel capitolo sia stato già letto.
Per ragioni esclusivamente tipografiche vengono adottati
i seguenti simboli:
il simbolo " . " per <e> (congiunzione);
il simbolo "V" per <o> (disgiunzione);
il simbolo " -- >" per <se ... allora ...
> (implicazione materiale);
il simbolo "< -- >" per " ... se e
solo se ... " (bicondizionale materiale):
Le tavole di verità
Un'argomentazione ha, di
solito, la forma seguente: 1) Questo (prima premessa);
2) quest'altro (seconda premessa);
dunque: così e così (conclusione).Fu
il filosofo Leibniz, che per primo notò come vi fosse
una simmetria tra la forma precedente (forma categorica)
e quella condizionale: SE questo E
quest'altro ALLORA così e così (N.B.: i connettivi sono
scritti in maiuscolo per ricordare che si tratta di
simboli speciali, il cui uso non coincide con quello del
linguaggio ordinario).L'idea diede i suoi frutti. A mano
a mano, dal seno della cultura moderna nacque una nuova
logica, molto diversa da quella classica, aristotelica.
In questo nuovo contesto trovò chiara formulazione il
problema della ricerca di un metodo meccanico che
consentisse di accertare con sicurezza la validità o la
non validità di un'argomentazione, quando questa fosse
stata sottoposta ad una appropriata traduzione simbolica.
La tecnica delle tavole di verità, elaborata
agli inizi del Novecento, fu la risposta al problema:
prendiamo una forma di argomento e
mettiamola nella forma di un asserto
condizionale (il cui antecedente è la
congiunzione delle premesse della forma di argomento data
e il conseguente è la conclusione della
forma di argomento data). Con le tavole di verità
si dispone di un metodo per controllare in modo del tutto
meccanico se l'asserto condizionale, così ottenuto, è o
non è una tautologia. Se è una
tautologia, allora la forma di argomento data è valida -
per l'approfondimento del concetto di tautologia e di
tutti gli altri numerosi concetti che questa tecnica
presuppone, si rinvia al testo citato; i capitoli
dedicati aWittgenstein, dei manuali di filosofia, di
solito illustrano alcune implicazioni più generali del
metodo.
Il programma Argomenti e tautologie presenta un
certo numero di argomenti di cui occorre controllare la
validità. Si tratta, innanzitutto, di riuscire a
costruire un enunciato simbolico capace di dare
espressione adeguata all'argomentazione. Il calcolo,
secondo le regole delle tavole di verità, è
svolto dal programma, il quale valuta l'enunciato scritto
e giudica la risposta, aggiungendo qualche ulteriore
annotazione.
I tre programmi:
- per richiamare alla mente
le regole fondamentali del calcolo: Tavole Elementari ;
- per un primo esercizio: Proviamo a calcolare;
- per un lavoro un po' più approfondito:
Troviamo
le tautologie Dopo
aver fatto clic sul
collegamento ed essere
entrato nel programma,
scegli l'argomentazione
(vedi riquadro in basso,
nella pagina del
programma), costruisci
l'enunciato simbolico,
verifica se è una
tautologia e rispondi
alla domanda sulla
validità
dell'argomentazione.
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