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Logica simbolica e tavole di verità

- tre programmi in Java per imparare ed esercitarsi -

  <<Poichè il linguaggio è fuorviante e in aggiunta prolisso e inesatto quando è applicato alla logica ( a cui non è mai stato destinato), il simbolismo logico è assolutamente necessario per qualunque trattazione esatta e completa del nostro argomento >> (Bertrand Russell)

Il linguaggio simbolico
Accade spesso che per assolvere un certo compito occorra guardare le cose in modo selettivo, concentrandosi su alcuni aspetti e trascurandone altri, che pure si sa essere, per tanti versi, importanti e significativi.
Dal punto di vista della logica, relativamente agli obiettivi che questa si pone, il linguaggio naturale, ossia il linguaggio che tutti noi (e ovviamente anche il logico) parliamo ogni giorno e impieghiamo nelle molteplici situazioni della vita quotidiana, presenta caratteri che lo rendono poco affidabile. La natura vaga e non certo univoca delle parole che usiamo e l'ambiguità che frequentemente si rivela nel modo in cui costruiamo i nostri ragionamenti, per gli idiomi fuorvianti che possono contenere o per il loro stile metaforico, se, visti sotto una certa prospettiva, rappresentano una ricchezza, sotto un'altra prospettiva possono, invece, rappresentare un problema. Cosa sarebbe la nostra effettiva comunicazione, se le frasi che pronunciamo cessassero, tutte insieme e tutto d'un tratto, di esprimere qualsiasi significato emozionale ? Riusciremmo ancora a provare interesse per i nostri discorsi ? Un linguaggio meticolosamente <pulito> delle sue vafghezze e imprecisioni, sarebbe ancora abbastanza duttile e in grado di rispondere alle multiformi richieste di una realtà in continua trasformazione ? Ma, supponiamo, ora, che di fronte ad argomentazioni formulate a a ragionamenti prodotti, ci si interroghi sulla loro validità o invalidità. Con una notazione precisa, ossia con un rigoroso vocabolario tecnico, possiamo più facilmente trovare una risposta. Per gli scopi della logica è conveniente mettere a punto un linguaggio simbolico artificiale, nel quale le premesse, le conclusioni e i passaggi. che dalle une vanno alle altre, possano venir tradotti in una forma che renda trasparente e controllabile la loro costruzione.

I simboli speciali.
Il valore dei simboli logici speciali consiste anche nell'aiuto che essi offrono nell'uso effettivo e nella manipolazione di asserti e argomenti. Nella loro Introduzione alla logica, (il Mulino, nuova ed.: 1997; prima ed.: 1961) I. Copi e C. Cohen scrivono: " la situazione è paragonabile a quella che ha portato alla sostituzione dei numeri romani con la notazione araba. sappiamo tutti che i numeri arabi sono più chiari e più facilmente comprensibili dei vecchi numeri romani dei quali hanno preso il posto. Ma la vera superiorità dei numeri arabi si rivela soltanto nella computazione. Qualsiasi studente può facilmente moltiplicare 113 per 9. ma moltiplicare CXII per IX è un compito più difficile e la difficoltà cresce all'aumentare dei numeri considerati. In maniera simile, la deduzione delle inferenze e la valutazione degli argomenti sono notevolmente semplificate dall'adozione di una notazione logica specifica. Per citare Alfred North Whitehead, che ha dato uno dei maggiori contributi al progresso della logica simbolica,

... con l'aiuto del simbolismo, possiamo fare nel ragionamento quasi meccanicamente, a occhio, passaggi che altrimenti chiamerebbero in gioco le più elevate facoltà del cervello.

Da questo punto di vista, per quanto sembri paradossale, la logica non serve a sviluppare le potenzialità del nostro pensiero, ma a sviluppare tecniche che ci consentano di raggiungere certi obiettivi senza dover pensare tanto".

Il primo passo verso la costruzione di un linguaggio simbolico artificiale, consiste nel ditinguere tra asserto semplice (un asserto semplice è quello che non contiene nessun altro asserto come suo componente) e asserto composto (un asserto composto è quello che contiene un altro enunciato come suo componente) - ad esempio, "Carlo è ordinato" è un asserto semplice, mentre "Carlo è ordinato e Carlo è affettuoso" è un asserto composto. "Carlo e Francesco sono intelligenti" è un asserto composto e, infatti, si può scomporre in: "Carlo è intelligente" e "Francesco è intelligente", ma "Carlo e Francesco sono amici" non è un asserto composto: una scomposizione simile alla precedente non si può, qui, applicare. La distinzione tra asserto semplice e asserto composto non è, perciò, così banale come, a prima vista, potrebbe apparire: già a questo livello elementare si produce una prima importante presa di distanza dal linguaggio comune. I passi successivi confermano questa tendenza. Ad esempio, un modo molto semplice di formare asserti composti consiste nel legare gli asserti semplici, suoi componenti, con la congiunzione <e>. La parola <e> è una parola breve e comoda, ma nel linguaggio ordinario non ha un solo uso: il significato di "Paolo e Ginevra si sposarono e ebbero un bambino" è diverso da quello di "Paolo e Ginevra ebbero un bambino e si sposarono". Qui la <e> del nostro parlare comune ha uno speciale senso temporale. Per avere una notazione logica dobbiamo, al contrario, fissare un unico uso e garantirci che questo rimanga costante.Sceglieremo, pertanto, quello più generale (che nel caso della <e> sarà quello di legare insieme gli asserti) e considereremo tutti gli altri come casi speciali di questo, e per evitare confusioni, invece di scrivere <e> useremo un simbolo artificiale, per esempio un puntino: " . "
In modo simile si procede per gli altri connettivi: <o> (di cui si fissa il significato corrispondente alla parola latina vel, distinguendolo da quello espresso dalla parola latina aut), <se ... allora ...> (implicazione materiale) e < ... se e solo se ... > (bicondizionale).
In un qualsiasi manuale di matematica si troverà facilmente un capitolo dedicato a questi argomenti. A chi volesse saperne di più consigliamo la lettura del libro di Copi e Cohen, più sopra citato.
I tre programmi che qui presentiamo presuppongono che quel capitolo sia stato già letto.
Per ragioni esclusivamente tipografiche vengono adottati i seguenti simboli:
il simbolo " . " per <e> (congiunzione);
il simbolo "V" per <o> (disgiunzione);
il simbolo " -- >" per <se ... allora ... > (implicazione materiale);
il simbolo "< -- >" per " ... se e solo se ... " (bicondizionale materiale):

Le tavole di verità
Un'argomentazione ha, di solito, la forma seguente: 1) Questo (prima premessa); 2) quest'altro (seconda premessa); dunque: così e così (conclusione).Fu il filosofo Leibniz, che per primo notò come vi fosse una simmetria tra la forma precedente (forma categorica) e quella condizionale: SE questo E quest'altro ALLORA così e così (N.B.: i connettivi sono scritti in maiuscolo per ricordare che si tratta di simboli speciali, il cui uso non coincide con quello del linguaggio ordinario).L'idea diede i suoi frutti. A mano a mano, dal seno della cultura moderna nacque una nuova logica, molto diversa da quella classica, aristotelica. In questo nuovo contesto trovò chiara formulazione il problema della ricerca di un metodo meccanico che consentisse di accertare con sicurezza la validità o la non validità di un'argomentazione, quando questa fosse stata sottoposta ad una appropriata traduzione simbolica. La tecnica delle tavole di verità, elaborata agli inizi del Novecento, fu la risposta al problema: prendiamo una forma di argomento e mettiamola nella forma di un asserto condizionale (il cui antecedente è la congiunzione delle premesse della forma di argomento data e il conseguente è la conclusione della forma di argomento data). Con le tavole di verità si dispone di un metodo per controllare in modo del tutto meccanico se l'asserto condizionale, così ottenuto, è o non è una tautologia. Se è una tautologia, allora la forma di argomento data è valida - per l'approfondimento del concetto di tautologia e di tutti gli altri numerosi concetti che questa tecnica presuppone, si rinvia al testo citato; i capitoli dedicati aWittgenstein, dei manuali di filosofia, di solito illustrano alcune implicazioni più generali del metodo.
Il programma Argomenti e tautologie presenta un certo numero di argomenti di cui occorre controllare la validità. Si tratta, innanzitutto, di riuscire a costruire un enunciato simbolico capace di dare espressione adeguata all'argomentazione. Il calcolo, secondo le regole delle tavole di verità, è svolto dal programma, il quale valuta l'enunciato scritto e giudica la risposta, aggiungendo qualche ulteriore annotazione.

I tre programmi:

- per richiamare alla mente le regole fondamentali del calcolo: Tavole Elementari ;

- per un primo esercizio: Proviamo a calcolare;

- per un lavoro un po' più approfondito:

Troviamo le tautologie

Dopo aver fatto clic sul collegamento ed essere entrato nel programma, scegli l'argomentazione (vedi riquadro in basso, nella pagina del programma), costruisci l'enunciato simbolico, verifica se è una tautologia e rispondi alla domanda sulla validità dell'argomentazione.