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Esempio .
D = diagonale di un quadrato di lato unitario;
L = lato del quadrato.
Poiché D > L, esisteranno due numeri interi q ed r, per cui qD > rL

ossia D/L > q/r.
Per il postulato di Archimede esisteranno due numeri interi s e t, per cui tD < sL
ossia
D/L < s/t
.
In sintesi:
q/r < D/L < s/t.
Se tutti i valori che approssimano per difetto o per eccesso D/L approssimano anche E/F ( E e F grandezze omogenee) allora vale
D:L = E : F.

Dunque, la teoria delle proporzioni di Eudosso suggeriva l'idea che l' "incommensurabile" potesse essere colto per approssimazioni, ossia mediante successioni di numeri razionali che si avvicinano ad esso, lo approssimano per difetto e per eccesso.
Questa idea si trovava però di fronte due ostacoli:

  1. l' "incommensurabile" appariva sicuramente identificabile solo quando fossero completamente dati tutti i numeri razionali che compongono le successioni che lo approssimano. Ritornava così, in questo "tutti", l'infinito attuale, che i Greci non sapevano come trattare.
  2. Il paradosso di Achille e la tartaruga aveva mostrato che l'infinito attuale rende problematico lo stesso concetto di avvicinarsi, approssimarsi.
Era possibile usare il concetto di "approssimazione", evitando i paradossi dell'infinito attuale ( che quel concetto rendevano problematico ), e nello stesso tempo dimostrare con rigore che l' "incommensurabile" in questione poteva venir identificato con sicurezza proprio dalle successioni che gli si avvicinano, anche quando non si conoscano tutti gli elementi che le compongono ?

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